Question

在平面直角坐標xO中，動點P到兩點(0，

3

)，(0，-

3

)的距離之和為4，設動點的軌跡C．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+1與C交于A、B兩點k為何值時

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得曲線C是焦點在y軸上的橢圓，設其方程為

x2

b2

+

x2

a2

=1，由題意知2a=4，c=

3

，由此能求出曲線C的方程．
（2）聯立

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，得（4+k²）x²+2kx-3=0，由此利用韋達定理能推導出k=±

1

2

時，

OA

⊥

OB

．

解答： 解：（Ⅰ）∵在平面直角坐標xO中，動點P到兩點(0，

3

)，(0，-

3

)的距離之和為4，
∴曲線C是焦點在y軸上的橢圓，設其方程為

x2

b2

+

x2

a2

=1，
由題意知2a=4，c=

3

，則b=1，
∴曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）聯立

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，化簡，得（4+k²）x²+2kx-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 2k 4+k2 x1x2=- 3 4+k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-

3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1
=-

5k2

4+k2

+1，
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

3

4+k2

-

5k2

4+k2

+1=0，
解得k=±

1

2

．
∴k=±

1

2

時，

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查圓錐曲線的方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．