Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：OE∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取CD中點F，連BF，AF，PF，只要證明OE∥PF；
（2）首先判斷PO⊥平面ABCD，建立坐標系，利用線面角的正弦值轉化為直線的方向向量與平面的法向量的余弦值解答．

解答： （Ⅰ）證明：取CD中點F，連BF，AF，PF，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四邊形ADFB是平行四邊形，∴AF∩BD=O，且O為AF中點，
∴OE∥PF，PF?平面PCD，OE?平面PCD，∴OE∥平面PCD；
（Ⅱ）∵平行四邊形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四邊形ADFB是正方形，
∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O為BD的中點，
∴PO⊥OD，
同理PO⊥AF，
∴PO⊥平面ABCD，
分別以OD，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖

可得平面PDC的一個法向量為

n

=(1，1，1)，

CE

=（

2

，-

5 2

2

，

2

2

），所以直線CE的一個方向向量為

a

=(2，-5，1)，
設所求線面角為θ，所以sinθ=|cos＜

n

，

a

＞|=

| n • a |

| n || a |

=

10

15

；
所以直線CE與平面PDC所成角的正弦值為

10

15

．

點評：本題考查了線面平行以及線面角的求法，線面平行的判斷關鍵是轉化為線線平行證明；線面角的正弦值轉化為直線的方向向量與平面的法向量的余弦值解答，屬于中檔題．