Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為是矩形，PA⊥底面ABCD，E為棱PD的中點，AP=2，AD=3，且三棱錐E-ACD的體積為1．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EC；
（Ⅱ）求直線EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）根據線面平行的判定定理即可證明PB∥平面EC；
（Ⅱ）建立空間坐標系，利用坐標法即可求直線EC與平面PAB所成角的正弦值．

解答： 解：（ I）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為是矩形，PA⊥底面ABCD且三棱錐E-ACD的體積為1，
∴VE-ACD=

1

3

×

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

3

，得CD=3---------------------（2分）
如圖所示，以A為坐標原點，AB方向為x軸正方向，建立空間角坐標系
由已知A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，2

3

，0），D（0，2

3

，0），P（0，0，2），E（0，

3

，1）
取AC中點O，則O（

3

2

，

3

，0），則

PB

=（3，0，-2），

EO

=(

3

2

，0，-1)，
∴

PB

=2

EO

，

PB

∥

EO

，即PB∥EO---------------------（4分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）

AE

=(0，

3

，1)，

AP

=(0，0，2)，

AC

=(3，2

3

，0)，
設平面PAC的一個法向量

n

=（x，y，z），
則

AP

⊥

n

，且

AC

⊥

n

，即

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0

n

=0，
∴

2z=0 3x+2 3 y=0

，令x=1，解得

n

=（1，-

3

2

，0）---------------------（8分）
則cos＜

AE

，

n

＞=

- 3 2

3+1 • 1+ 3 4

=-

3 7

14

---------------------（10分）
直線AE與平面PAC所成角的正弦值為

3 7

14

----------------------（12分）

點評：本題主要考查空間直線和平面平面的判斷，利用向量法是解決直線和平面所成角的基本方法．