Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求：
（1）異面直線AD₁與A₁B所成的角；
（2）求AD₁與平面ABCD所成的角；
（3）求二面角D₁-AB-C的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）連結D₁C，AC，則A₁B∥D₁C，從而異面直線AD₁與A₁B所成的角為∠AD₁C，由△AD₁C是等邊三角形，能求出異面直線AD₁與A₁B所成的角的大小．
（2）因為DD₁⊥平面ABCD，所以AD₁與平面ABCD所成的角為∠D₁AD，通過正方體的性質可求大小；
（3）因為D₁A⊥AB，CB⊥AB，所以二面角D₁-AB-C的平面角為∠D₁AD=45°．

解答： 解：（1）連結D₁C，AC，如圖，

則△AD₁C是等邊三角形
∵A₁B∥D₁C，
∴異面直線AD₁與A₁B所成的角為∠AD₁C，
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴∠AD₁C=60°，
∴異面直線AD₁與A₁B所成的角為60°．
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，∴AD₁與平面ABCD所成的角為∠D₁AD，
∵幾何體是正方體，∴∠D₁AD=45°；
（3）∵D₁A⊥AB，CB⊥AB，BC∥AD，
∴二面角D₁-AB-C的平面角為∠D₁AD=45°．

點評：本題考查了正方體中異面直線所成的角以及線面角和二面角；關鍵是將空間角轉化為平面角來解答．