Question

已知過點A（1，0）的直線l₁與曲線C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是參數）交于P，Q兩點，與直線l₂：x+y+2=0交于點N．若PQ的中點為M，
（1）求|AM|•|AN|的值；
（2）求|AP|+|AQ|的最大值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數方程

分析：（1）求出直線l₁的參數方程，將其代入圓的方程和直線l₂的方程，得到參數t，運用韋達定理，和中點的參數t，即可得到所求值；
（2）由（1）可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，則|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

代入運用三角函數的二倍角公式，結合正弦函數的值域，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設過點A（1，0）的直線l₁的方程為

x=1+tcosθ y=tsinθ

（t為參數），
曲線C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是參數）即為圓（x-2）²+（y-1）²=4，
將直線l₁的方程代入圓的方程，可得t²-2（cosθ+sinθ）t-2=0，
可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，
則|AM|=|

t1+t2

2

|=|cosθ+sinθ|，
將直線l₁的方程代入直線l₂：x+y+2=0，可得t=

-3

cosθ+sinθ

，
則|AM|•|AN|=|cosθ+sinθ|•|

-3

cosθ+sinθ

|=3；
（2）|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosθ+sinθ)2+8

=

12+4sin2θ

，
當sin2θ=1即θ=kπ+

π

4

，k∈Z，時，取得最大值4．

點評：本題考查參數方程和普通方程的互化，考查直線參數方程的參數的幾何意義及運用，考查韋達定理及三角函數的值域，考查運算能力，屬于中檔題．