Question

（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.
（Ⅰ）求證：AB₁//面BDC₁；
　 （Ⅱ）求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在側棱AA­₁上是否存在點P，使得
CP⊥面BDC₁？并證明你的結論.
 

 

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）
（Ⅲ）略

（I）證明：
連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD
∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中點.
又D是AC的中點，

∴OD//AB₁.………………………………………………2分
∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁，
∴AB₁//面BDC₁.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
設=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一個法向量，則

即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.
.…………………………8分
∴二面角C₁—BD—C的余弦值為.………………………………9分
（III）假設側棱AA₁上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.
則
∴方程組無解.
∴假設不成立.
∴側棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁.……………14分