Question

已知函數f（x）=e^x（其中e是自然數的底數），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
（1）記函數F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的單調增區間；
（2）若對任意x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，即可求函數f（x）的單調區間；
（2）設x₁＜x₂，因為g（x）=e^x在[0，2]單調遞增，故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，當a≥-（e^x+2x）恒成立時，a≥-1；當a≤e^x-2x恒成立時，a≤2-2ln2，綜合討論結果，可得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）y=f（x）•g（x）=（x^2_+ax+1）•e^x，
∴F'（x）=[x²+（a+2）x+（a+1）]e^x，
令F'（x）=0，則x²+（a+2）x+（a+1）=0，即[x+（a+1）]（x+1）=0，解得x=-1，或x=-a-1
∵a＞0，∴-a-1＜-1，
∵x∈[-a-1，-1]時，y'＜0，x∈（-∞，-a-1）和（-1，+∞）時，y'＞0，
∴函數F（x）的單調增區間為（-∞，-a-1）和（-1，+∞），
（2）設x₁＜x₂，因為f（x）=e^x在[0，2]單調遞增，
故原不等式等價于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)-f(x1)＜g(x2)-f(x2) f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
則函數F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調遞增，
則有

G′(x)=g′(x)+f′(x)=ex+2x+a≥0 F′(x)=g′(x)-f′(x)=ex-2x-a≥0

，在[0，2]恒成立，
當a≥-（e^x+2x）恒成立時，因為-（e^x+2x）在[0，2]單調遞減，
所以-（e^x+2x）的最大值為-1，所以a≥-1；
當a≤e^x-2x恒成立時，因為e^x-2x在[0，ln2]單調遞減，在[ln2，2]單調遞增，
所以e^x-2x的最小值為2-ln2，所以a≤2-2ln2，
綜上：-1≤a≤2-2ln2．

點評：本題考查的知識點是導數在最大值和最小值中的應用，利用導數分析函數的單調性，利用導數分析函數的極值，運算量大，綜合性強，轉化困難，屬于難題．