Question

用定義法證明函數f（x）=

x2

x2-1

在區間（0，1）是減函數．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：利用函數單調性的定義，取值，作差，變形，定號，下結論，即可證得．

解答： 解：設 x₁，x₂∈（0，1）且 x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x 2 1

x 2 1 -1

-

x 2 2

x 2 2 -1

=

x 2 2 -x 2 1

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

=

(x2-x1)(x2+x1)

(x1-1)(x1+1)(x2-1)(x2+1)

，
∵x₁＜x₂∴x₂-x₁＞0，
∵x₁，x₂∈（0，1）∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，
∴f（ x₁）-f（ x₂）＞0，即f（ x₁）＞f（ x₂），
所以，函數f(x)=

x2

x2-1

在區間（0，1）是減函數．

點評：本題考查函數單調性的定義，考查單調性的證明，利用單調性的證明步驟是解題的關鍵．