Question

若函數f（x）=

1

3

x³-ax²-3x+1在x=-1處取得極值．
（1）求a的值．
（2）求f（x）的單調區間．
（3）若對任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），由f（x）在x=-1處取得極值得f′（-1）=0，解出即可；
（2）由（1）寫出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調區間；
（3）對任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，等價于f（x）_min≥m，根據函數f（x）在[-1，4]上的單調性易求得函數最小值；

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax-3，
因為f（x）在x=-1處取得極值，所以f′（-1）=1+2a-3=0，解得a=1，
經檢驗a=1時f（x）在x=-1處取得極值，
所以a=1．
（2）由（1）知，f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞3，由f′（x）＜0得-1＜x＜3，
所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調遞減區間為（-1，3）．
（3）由（2）知，當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當3＜x≤4時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以當x=3時f（x）取得極小值，也為最小值，f（x）_min=f（3）=

1

3

×3³-3²-3×3+1=-8，
對任意的x∈[-1，4]都有f（x）≥m成立，等價于f（x）_min≥m，
所以-8≥m，
所以m的取值范圍為：m≤-8．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值，考查函數恒成立問題，恒成立問題往往轉化為函數最值問題解決，進而可運用導數處理．