Question

已知銳角α、β滿足（sinα+cosα）（sinβ+cosβ）=2，則（sin2α+cos3β）²+（sin2β-cos3α）²=

3

．

Answer 1

分析：先根據已知和三角函數的和差公式得出sin（α+45°）sin（β+45°）=1，進而求出銳角α、β，再由特殊角的三角函數值得出結果即可．

解答：解：∵（sinα+cosα）（sinβ+cosβ）=2
∴（

2

2

sinα+

2

2

cosα）（

2

2

sinβ+

2

2

cosβ）=1
∴sin（α+45°）sin（β+45°）=1
∵正弦函數sinx∈[-1，1]
∴sin（α+45°）=1，sin（β+45°）=1
又∵銳角α、β
∴α=45°，β=45°
∴（sin2α+cos3β）²+（sin2β-cos3α）²═（sin90°+cos135°）²+（sin90°-cos135°）²=（1-

2

2

）²+（1+

2

2

）²=3
故答案為：3．

點評：此題考查了三角函數的和差公式以及特殊三角函數值，求出銳角α、β，是解題的關鍵，屬于中檔題．