Question

【題目】一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度成正比，與它的厚度的平方成正比，與它的長度的平方成反比.

(Ⅰ)將此枕木翻轉90°（即寬度變為厚度），枕木的安全負荷會如何變化？為什么？（設翻轉前后枕木的安全負荷分別為且翻轉前后的比例系數相同都為）

(Ⅱ)現有一根橫斷面為半圓（已知半圓的半徑為）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，其長度為10，問截取枕木的厚度為多少時，可使安全負荷最大？

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析 (Ⅱ)

【解析】試題分析：（1）安全負荷為正常數），翻轉后，從而得，從而討論變化；（2）如圖，設截取的寬為，厚度為，則，即，從而得到，再求導，確定函數的單調性與最值.

試題解析：（Ⅰ）安全負荷為正常數）翻轉，

，

當時，安全負荷變大.

當 ，安全負荷變小；

當時，安全負荷不變.

（II）如圖，設截取的寬為，厚度為，則.

= （

令 得：

當時 函數在上為增函數；

當時 函數在上為減函數；

當 時，安全負荷最大。此時厚度

答：當問截取枕木的厚度為時，可使安全負荷最大。