Question

如圖，半圓O的直徑AB=7，兩弦AB、CD相交于點E，弦CD=，且BD=5，則DE等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根據圓周角定理得出的兩組相等的對應角，易證得△AEB∽△DEC，根據CD、AB的長，即可求出兩個三角形的相似比；設BE=x，則DE=5-x，然后根據相似比表示出AE、EC的長，連接BC，首先在Rt△BEC中，根據勾股定理求得BC的表達式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，進而可求出DE的長．
解答：解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴=；
設BE=x，則DE=5-x，EC=x，AE=2（5-x）；
連接BC，則∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=x，則BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-x，BC=x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：7²=（10-x）²+（ x）²，
整理，得x²-10x+17=0，解得x₁=5+2 ，x₂=5-2 ；
由于x＜5，故x=5-2 ；
則DE=BD-BE=2 ．
故答案為2．
方法二：
設DE=x，連接AD
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；
∴=則AE=2x
在Rt△ADB中，AD²=49-25=24
在Rt△ADE中，AD²=x²+（2x）²=24，解得x=
故答案為：2．
點評：此題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用等知識；本題要特別注意的是BE、DE不是相似三角形的對應邊，它們的比不等于相似比，以免造成錯解．