Question

如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2，C為半圓上任意一點，以AC為直角邊作等腰直角△ABC，求四邊形OABC的面積最大值．

Answer 1

分析：由余弦定理得AC²=5-4cosα，由四邊形OABC的面積為S=S_△AOC+S_△ABC =

5

sin(α-φ)+

5

2

 求得最大值．

解答：解：設∠AOC=α，在△AOC中，
由余弦定理得AC²=5-4cosα，
于是四邊形OABC的面積為S=S_△AOC+S_△ABC =

1

2

OA•OCsinα+

1

2

AC2=sinα+

1

2

(5-4cosα)
=sinα-2cosα+

5

2

=

5

sin(α-φ)+

5

2

 
（其中tanφ=2），
故四邊形OABC的面積的最大值為

5

+

5

2

．

點評：本題考查余弦定理，兩角差的正弦公式的應用，得到四邊形OABC的面積為S=S_△AOC+S_△ABC =

5

sin(α-φ)+

5

2

，是解題的關鍵．