Question

【題目】已知橢圓的右頂點、上頂點分別為A、B，坐標原點到直線AB的距離為，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的左焦點的直線交橢圓于M、N兩點，且該橢圓上存在點P，使得四邊形MONP（圖形上字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求直線方程，表示原點到直線的距離，再根據，聯立解求橢圓方程；

（2）直線，與橢圓方程聯立，表示 ，，

再利用中點坐標公式表示點的坐標，根據點在橢圓上，代入橢圓方程求

(1) 設直線AB的方程為，

原點到AB的距離為，又，

解得，

故橢圓的方程為；

（2）由（1）得橢圓的左焦點，

易知直線的斜率不為0，可設直線，設，

因為MOPN為平行四邊形，

得 ，

聯立，

，

因為點P在橢圓上，有

所以直線的方程為.