Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）是否存在，，使得函數在區間的最小值為且最大值為？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由.

參考數據：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）存在，當且時，或當且時，可以使得函數在區間的最小值為且最大值為

【解析】

（1）首先求函數的導數，設，，再求恒成立，說明是單調遞增函數，然后討論的范圍，確定函數的單調區間；（2）根據（1）討論的函數的單調性，當和時函數是單調函數，易判斷，當時，令，，根據其單調性，可判斷，當時，，當時，，因為，所以，，，與條件矛盾，所以這種情況下不存在.

（1），

令，，

則，則在上單調遞增，

①.若，則，則，則在上單調遞增；

②.若，則，則，則在上單調遞減；

③.若，則，，又在上單調遞增，

結合零點存在性定理知：存在唯一實數，使得，

當時，，則，則在上單調遞減，

當時，，則，則在上單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減；

當時，存在唯一實數，使得，

在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）可知，

①.若，則，則，

而，解得滿足題意；

②.若，則，則，

而，解得滿足題意：

③.若，令，，

則，故在上單調遞減，所以，

令，，由（1）知；

令，，由（1）知；

因為，，且，

所以，則，，

故，故對任意，

不存在實數能使函數在區間的最小值為且最大值為；

綜上，當且時，或當且時，

可以使得函數在區間的最小值為且最大值為.