Question

【題目】已知函數f(x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.

(Ⅰ)求ω的值及函數f(x)的單調遞減區(qū)間；

(Ⅱ)如圖，在銳角三角形ABC中有f(B)＝1，若在線段BC上存在一點D使得AD＝2，且AC＝，CD＝－1，求三角形ABC的面積．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用倍角公式降冪，結合輔助角公式化一可得正弦型函數，進而結合正弦函數性質即可求解；

(Ⅱ)講f(B)＝1代入解析式得B＝，在△ADC中由余弦定理可得cos C＝，解出三角形即可求面積.

試題解析：

(Ⅰ)f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin＋.

因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.

故f(x)＝sin＋.

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

所以f(x)的單調遞減區(qū)間為 (k∈Z)．

(Ⅱ)由f(B)＝sin＋＝1，即sin＝.

由0<B<得<2B＋<，所以2B＋＝，解得B＝.

再由已知：AC＝， CD＝－1，AD＝2.

∴在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C，得cos C＝，

又∠C∈(0°，90°)，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.

在△ABC 中，由＝，得AB＝2，

∴S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×2××＝.