Question

18．已知函數f（x）的反函數是y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，則函數f（2x-x²）的減區間為（0，1]．

Answer 1

分析 由y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，解得x=-log₃y，把x與y互換可得y=-log₃x．可得f（x）=-log₃x．于是f（2x-x²）=-$lo{g}_{3}[-（x-1）^{2}+1]$，利用二次函數與復合函數的單調性即可得出．

解答 解：由y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，解得x=-log₃y，把x與y互換可得y=-log₃x．
∵函數f（x）的反函數是y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，
∴f（x）=-log₃x．
∴f（2x-x²）=-$lo{g}_{3}（2x-{x}^{2}）$=-$lo{g}_{3}[-（x-1）^{2}+1]$，
由2x-x²＞0，解得0＜x＜2．
∴由復合函數的單調性知函數函數f（2x-x²）的減區間為（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查了反函數的求法、二次函數與復合函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．