Question

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面平行的判定和二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，利用線面平行的判定定理，先找出面內的一條線，利用平行四邊形證明，從而證明線面平行；第二問，用向量法解題，先建立直角坐標系，求出2個平面的法向量，再求夾角.
試題解析： (1)證明：取的中點，連結.
∴，且，
又，∴.
又是的中點，且，
∴，∴四邊形是平行四邊形．
∴.
又平面，平面.
∴平面.(6分)
(2)解：以為原點，如圖建立直角坐標系，則，，，，，，．

設平面的法向量為，，．
則可得，令，則．
易得平面的法向量可為，
；
如圖，易知二面角的余弦值等于，即為. （12分）