Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2） 

試題分析：（1）根據勾股定理證，即，再證，直線與平面垂直的判定定理即可得證明；

（2）過O點作交CD的延長線于H，根據已知可證二面角A-CD-B的平面角，然后通過解三角形即可求得.
試題解析：（1）易得OC=3，AD=2,連結OD，OE，在∆OCD中，
由余弦定理可得OD= =.
∵AD=2,∴,∴,
同理可證：,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD；
（2）方法一：過O點作交CD的延長線于H，連結AH，因為AO⊥平面BCD,所以,故為二面角A-CD-B的平面角.
因為OC=3， =45，所以OH= ,從而tan=.

方法二：以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示.則A(0，0， ),C(0，-3，0),D(1，-2，0),
所以=(0，3，),=(-1，2，).
設為平面ACD的一個法向量，則 ,
即 解得 ，令x=1，得.
由（1）知，為平面CDB的一個法向量，所以cos< >==,
由A-CD-B為銳二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值為 .