Question

（本小題滿分14分）
如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．

(1)求證：D、E、F、G四點共面；
(2)求證：PC⊥AB；
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

Answer 1

(1)只需證DG//EF； (2)只需證AB⊥面POC；（3）。

試題分析：(1)依題意DG//AB……1分，
EF∥AB…2分，
所以DG//EF……3分，
DG、EF共面，從而D、E、F、G四點共面……4分。
(2)取AB中點為O，連接PO、CO……5分
因為PA=PB， CA=CB，所以PO⊥AB，CO⊥AB……7分，
因為PO∩CO=D，所以AB⊥面POC……8分
PC面POC，所以AB⊥PC……9分
(3)因為△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以…10分，
因為所以OP⊥OC……11分，
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，所以PO⊥面ABC……12分
……14分（公式1分，其他1分）
點評：第三問，把三棱錐P-ABC體積的求法轉化為求棱錐A-POB和棱錐B-POC的體積之和是解決問題的關鍵。