Question

（本小題滿分１２分）
在三棱柱中，側棱，點是的中點，．
（1）求證：∥平面；
（2）為棱的中點，試證明：．

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了空間立體幾何中線面平行和線線垂直的證明。
（1）連接，交于點, 連接.
∵、分別是、的中點，∴∥．
∵平面，平面，∴∥平面．
（2）正三棱柱中，，∴四邊形是正方形．
∵為的中點，是的中點，∴可得到，同時還有．，利用線面垂直的性質定理得到結論。
（1）證明：連接，交于點, 連接.
∵、分別是、的中點，∴∥．
∵平面，平面，∴∥平面．      
（2）∵在正三棱柱中，，∴四邊形是正方形．
∵為的中點，是的中點，∴，
∴，．
又∵， ，∴． 
∵是正三角形，是的中點，∴．
∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴．