Question

已知函數
（1）求函數f（x）的最大值；
（2）證明：對?n∈N₊，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的定義域，研究在（0，+∞）上的最值問題，先求出函數的極值，往往求出的極大值就是最大值．
（2）要證不等式即證=，所以只需證明lnx＜x（x-1），由第一問可知f（x）≤1，結論很快得證．
解答：解：（1）∵
令f'（x）=0得x²=1-lnx
顯然x=1是上方程的解．
令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞）
則，∴函數g（x）在（0，+∞）上單調，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵當0＜x＜1時-1＞0，
當x＞1時f'（x）＜0．∴函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴當x=1時函數有最大值f（x）_max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知當x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有，
對任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）（8分）
∵
∴（11分）
即對?n∈N^*，不等式恒成立（12分）
點評：本題考查了利用導數求函數的最值問題，以及以不等式為載體考查導數的應用．