Question

設a、b是兩個實數,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m²+15,m∈Z},C={(x,y)|x²+y²≤144}是平面xOy內的點的集合.求證:不存在a、b使得A∩B≠,且(a,b)∈C同樣成立.?

      

Answer 1

證法一:設存在實數a、b滿足所給條件,由A∩B≠,知方程組有整數解,x=n,y=m,代入,并消去m,得?

       3n²-an-(b-15)=0,①?

       Δ=a²+12b-180≥0.②?

       由(a,b)∈C,知a²+b²≤144a²≤144-b²,結合②,有0≤Δ≤(144-b²)+12b-180,得b=6,且Δ=0.這表明方程①有等根,且n²=n₁·n₂==3,所以n=±,這與n為整數矛盾.所以不存在a、b使①②同時成立.?

       證法二:由柯西不等式:x₁y₁+x₂y₂≤,若存在(a,b)∈C,使A∩B≠,則a²+b²≤144,又y=na+b·1≤≤12,且y=3n²+15=3［(1+n²)+4］≥12.其中n∈Z時,上式等號不成立.所以矛盾,這說明a、b不存在.?

       溫馨提示:本題屬存在性命題,用集合語言巧妙地將方程、不等式與曲線、區域聯系在一起.由于A∩B≠的界限不易確定,正面推理較難,而用反證法,則入口寬,思路多.除了上述兩種方法外,還可以用集合的知識及用解析法,從方程的幾何意義等方面入手.