Question

14．已知函數f（x）=$\frac{x-a}{{{{（x+a）}^2}}}$，若對于定義域內的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），則滿足條件的實數a的取值范圍是a≥0．

Answer 1

分析 對于定義域內的任意x₁ 總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即為f（x）在x≠-a處無最小值；討論a=0，a＞0，a＜0，求得單調區間和極值即可求出a的范圍．

解答 解：對于定義域內的任意x₁ 總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即為f（x）在x≠-a處無最小值；
①a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$無最小值顯然成立；
②a＞0時，f（x）的導數為f'（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{2}}$，可得f（x）在（-∞，-a）上遞減，在（-a，3a）上遞增，在（3a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極大值；
當x＞a時，f（x）＞0；x＜a時，f（x）＜0．取x₁＜a，x₂≠-a即可；
當x＜-a時，f（x）在（-∞，-a）遞減，且x₁＜${x}_{1}+\frac{1}{2}|{x}_{1}+a|$＜-a，
f（x₁）＞f（＜${x}_{1}+\frac{1}{2}|{x}_{1}+a|$），故存在x₂=x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）；
同理當-a＜x₁＜a時，令x₂=x₁-$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）也符合；
則有當a＞0時，f（x₂）＜f（x₁）成立；
③當a＜0時，f（x）在（-∞，3a）上遞減，在（3a，a）上遞增，在（-a，+∞）上遞減，即有f（x）在x=3a處取得極小值，
當x＞a時，f（x）＞0； x＜a時，f（x）＜0．
f（x）_min=f（3a），當x₁=3a時，不存在x₂，使得f（x₂）＜f（x₁）成立．
綜上可得，a的取值范圍是：[0，+∞）
故答案為：a≥0．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，函數的性質，分類討論思想等知識點，屬中等題．