Question

若函數，非零向量，我們稱為函數的“相伴向量”，為向量的“相伴函數”.

（1）已知函數的最小正周期為，求函數的“相伴向量”；

（2）記向量的“相伴函數”為，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數，若，求的值；

（3）對于函數，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；

若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）（1，1）；（2） ；（3）不存在“相伴向量”

【解析】

試題分析：（1）由函數平方項展開化簡，再通過化一公式即可得一個函數的形式，又因為最小正周期為，即可求得的值.再將函數展開寫成的形式及可得結論.

（2）由向量為函數的“相伴向量”，所以可得到函數.再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數.再根據.通過解三角方程即可得到所求的結論.

（3）對于函數，是否存在“相伴向量”.通過反證法的思想，可證明不存在函數的“相伴向量”.

（1）

， 1分

依題意得，故． 2分

∴，即的“相伴向量”為（1，1）．　　 3分

（2）依題意，， 4分

將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到函數， 5分

再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到，

即， 6分

∵，∴，

∵，∴，∴， 8分

∴. 10分

（3）若函數存在“相伴向量”，

則存在，使得對任意的都成立， 11分

令，得，

因此，即或，

顯然上式對任意的不都成立，

所以函數不存在“相伴向量”． 13分

(注：本題若化成，直接說明不存在的，給1分)

考點：1.三角函數的性質.2.三角恒等變換.3.三角函數的圖象.4.新定義問題.5.反正的思想.