Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)，再證明. （2）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為≥0，再利用導(dǎo)數(shù)求即得a的取值范圍. (3)利用第（2）問的結(jié)論和分析法證明.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，.

（2），令，則.

①當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增，，即，在上為增函數(shù)，

，當(dāng)時(shí)滿足條件.

②當(dāng)時(shí)，令，解得，在上，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，有，即 在上為減函數(shù)，，不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）由（2）得，當(dāng)，時(shí)，，即=，

欲證不等式，

只需證明，

只需證明，

只需證 ，

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，恒成立，且， 恒成立.

原不等式得證.