Question

15．已知復(fù)數(shù)${z_1}={m^2}-2m+（{2{m^2}-9m}）i$，z₂=-m+i為虛數(shù)單位，（m∈R）
（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z₁為純虛數(shù)時，求m的取值
（2）當(dāng)實數(shù)m∈[1，2]時，復(fù)數(shù)z=z₁z₂，求復(fù)數(shù)z的實部最值．

Answer 1

分析 （1）利用純虛數(shù)的定義即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運算法則可得：實部=9m-m³，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可得出．

解答 解：（1）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m=0}\\{2{m}^{2}-9m≠0}\end{array}\right.$，∴m=2．（3分）
（2）$Z={z_1}{z_2}=[{m^2}-2m+（2{m^2}-9m）i][-m+i]$
$\begin{array}{l}=2{m^2}-{m^3}-2{m^2}+9m+（{m^2}-2m）i-（{2{m^3}-9{m^2}}）i\\=9m-{m^3}+（10{m^2}-2{m^3}-2m）i\end{array}$
設(shè)g（m）=9m-m³，m∈[1，2]，g′（m）=9-3m²=0，可得$m=\sqrt{3}或m=-\sqrt{3}（舍去）$（6分）
所以，當(dāng)$m∈（1，\sqrt{3}）$時，g'（m）＞0，所以g（m）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)$m∈（\sqrt{3}，2）$時，g'（m）＜0，所以g（m）在此區(qū)間單調(diào)遞減；           
∵g（1）=8，g（2）=10，g（$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$．
∴g（m）的最大值為：g（$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$，最小值為g（1）=8．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等、純虛數(shù)的定義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．