Question

18．已知方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）．
（1）求方程表示一條直線的條件；
（2）當m為何值時，方程表示的直線與x軸垂直；
（3）若方程表示的直線在兩坐標軸上的截距相等，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3=0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，得：m=-1，方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）表示直線，可得m²-2m-3、2m²+m-1不同時為0，即可得出．
（2）方程表示的直線與x軸垂直，可得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3≠0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，
（3）當5-2m=0，即$m=\frac{5}{2}$時，直線過原點，在兩坐標軸上的截距均為0．當$m≠\frac{5}{2}$時，由$\frac{2m-5}{{{m^2}-2m-3}}=\frac{2m-5}{{2{m^2}+m-1}}$，解得：m．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3=0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，得：m=-1（12分）
∵方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+5-2m=0（m∈R）表示直線
∴m²-2m-3、2m²+m-1不同時為0，∴m≠-1．（4分）
（2）方程表示的直線與x軸垂直，∴$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-2m-3≠0\\ 2{m^2}+m-1=0\end{array}\right.$，∴$m=\frac{1}{2}$．（6分）
（3）當5-2m=0，即$m=\frac{5}{2}$時，直線過原點，在兩坐標軸上的截距均為0（8分）
當$m≠\frac{5}{2}$時，由$\frac{2m-5}{{{m^2}-2m-3}}=\frac{2m-5}{{2{m^2}+m-1}}$得：m=-2．（10分）

點評 本題考查了直線方程、相互垂直的直線斜率之間的關系、截距，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔 題．