Question

9．如圖，某觀光休閑莊園內有一塊扇形花卉園OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，扇形半徑為500米，cos∠AOB=$\frac{1}{4}$．莊園經營者欲在花卉園內修建一條賞花長廊，分別在邊OA、弧$\widehat{AB}$、邊OB上選點D，C，E修建賞花長廊CD，CE，且CD∥OB，CE∥OA，設CD長為x米，CE長為y米．
（Ⅰ）試求x，y滿足的關系式；
（Ⅱ）問x，y分別為何值時，才能使得修建賞花長廊CD與CE的總長最大，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，設OC=500．則CD=x，OD=CE=y，利用余弦定理，即可求x，y滿足的關系式；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，四邊形ODCE是平行四邊形．
因為$cos∠AOB=\frac{1}{4}$，所以$cos∠ODC=-\frac{1}{4}$…（1分）
連接OC，設OC=500．則CD=x，OD=CE=y．…（2分）
在△ODC中，由余弦定理得，OC²=OD²+DC²-2OD•DCcos∠ODC…（4分）
則${500^2}={x^2}+{y^2}+\frac{1}{2}xy$，即${x^2}+{y^2}+\frac{1}{2}xy-250000=0$．…（6分）
（Ⅱ）所以${（{x+y}）^2}={500^2}+\frac{3}{2}xy≤{500^2}+\frac{3}{2}{（{\frac{x+y}{2}}）^2}$…（8分）
解得${（{x+y}）^2}≤\frac{8}{5}×{500^2}$，當且僅當$x=y=100\sqrt{10}$時取等號，…（10分）
所以x+y的最大值為$200\sqrt{10}$，此時C為$\widehat{AB}$的中點．…（12分）

點評 本題考查余弦定理的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．