Question

3．a為實數，記函數f（x）=2|cosx|+a（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）的最大值為g（a）
（1）設t=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$，求t的取值范圍并把f（x）表示為t的表達式；
（2）求函數f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）t²=（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）²=2+2|cosx|∈[2，4]，可得t的取值范圍并把f（x）表示為t的表達式；
（2）分類討論，即可求函數f（x）的最大值g（a）．

解答 解：（1）∵t²=（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）²=2+2|cosx|∈[2，4]．
又∵t＞0，∴t∈[$\sqrt{2}$，2]，
∴g（t）=t²-2+at，t∈[$\sqrt{2}$，2]；
（2）求函數f（x）的最大值即求g（t）=t²-2+at，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值．
-$\frac{a}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，g（a）=g（2）=2+2a；
-$\frac{a}{2}$＞$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，g（a）=g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$a．

點評 本題考查函數的最值，考查換元方法的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．