Question

8．將函數f（x）=$\sqrt{x}$中的自變量x用x=g（t）替換，替換后所得的函數F（t）=$\sqrt{g（t）}$與原函數f（x）的值域相同，則函數g（t）可以是下列函數中的①③④（請填寫所有滿足條件的g（t）的編號）．
①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$；②g（t）=2^t；③g（t）=3t-5；④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1．

Answer 1

分析 根據題意求出函數f（x）=$\sqrt{x}$值域，依次將g（t）帶入函數F（t）=$\sqrt{g（t）}$與原函數f（x）的值域是否相同可得答案．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$的定義域為{x|x≥0}，
根冪函數的單調性可知，函數f（x）的值域為[0，+∞）．
∵函數F（t）=$\sqrt{g（t）}$，
當①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$時，其值域為[0，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域為[0，+∞）．
與函數f（x）值域相同．
當②g（t）=2^t時，其值域為（0，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域為（0，+∞）．
與函數f（x）值域不相同．
當③g（t）=3t-5時，其值域為（-∞，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$無意義．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域為[0，+∞）．
與函數f（x）值域相同．
當④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1時，其值域為（-1，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$無意義．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域為[0，+∞）．
與函數f（x）值域相同．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了基本函數的值域和復合函數的值域的問題．抓住題意下手．屬于基礎題．