Question

17．設（2x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴
（1）求a₂的值
（2）求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²的值．

Answer 1

分析 （1）對（2x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，兩次求導可得：48（2x-1）²=2a₂+6a₃x+12${a}_{4}{x}^{2}$，令x=0，可得a₂．
（2）對（2x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，分別令x=1，x=-1，可得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=3⁴，代入（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）即可得出．

解答 解：（1）對（2x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，兩次求導可得：
48（2x-1）²=2a₂+6a₃x+12${a}_{4}{x}^{2}$，令x=0，可得a₂=24．
（2）對（2x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，
分別令x=1，x=-1，可得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=3⁴，
∴（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）=3⁴=81．

點評 本題考查了二項式定理的應用、導數的運算法則、方程思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．