Question

已知裝曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線過點(1，

3

)，F₁，F₂為雙曲線的左右焦點，P為雙曲線上的任意一點，且∠F₁PF₂=

π

3

，S△PF1F2=12

3

．
（1）求雙曲線的兩條漸近線的夾角；
（2）求雙曲線的標準方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意求出漸近線的傾斜角，進而求雙曲線的兩條漸近線的夾角；
（2）由（1）知，b=

3

a，c=2a；借助于余弦定理及三角形面積公式求出a，進而求雙曲線的標準方程．

解答： 解：（1）∵裝曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線過點(1，

3

)，
∴這條漸近線的傾斜角的正切值為

3

1

=

3

，
故傾斜角為

π

3

，
則雙曲線的兩條漸近線的夾角為π-2×

π

3

=

π

3

；
（2）由（1）知，b=

3

a，c=2a；
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos

π

3

，
即16a²=|F₁P|²+|PF₂|²-|F₁P||PF₂|；
又∵S△PF1F2=12

3

=

1

2

|F₁P||PF₂|sin

π

3

．
∴|F₁P||PF₂|=48，
16a²=（|F₁P|-|PF₂|）²+|F₁P||PF₂|，
即16a²=4a²+48，
則a²=4，
故雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：本題考查了雙曲線的圖象及雙曲線與正余弦定理及三角形面積公式的聯合應用，屬于難題．