Question

已知點G是△ABC的重心，且AG⊥BG，

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，則實數λ的值為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、3
• D、2

Answer 1

考點：正弦定理,同角三角函數基本關系的運用

專題：計算題,解三角形

分析：首先根據三角形的重心性質及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=

3

2

AB，再應用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，將

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

應用三角恒等變換公式化簡得λ=

sin2C

sinAsinBcosC

，然后運用正弦定理和余弦定理，結合前面的結論，即可求出實數λ的值．

解答：解：如圖，連接CG，延長交AB于D，
由于G為重心，故D為中點，
∵AG⊥BG，∴DG=

1

2

AB，
由重心的性質得，CD=3DG，即CD=

3

2

AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=

1

2

AB²+

9

2

AB²=5AB²，
又∵

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，
∴

cosA

sinA

+

cosB

sinB

=

λcosC

sinC

，即λ=

(sinAcosB+cosAsinB)sinC

sinAsinBcosC

，
∴λ=

sin(A+B)sinC

sinAsinBcosC

=

sin2C

sinAsinBcosC

=

AB2

BC•AC•cosC

=

2AB2

BC2+AC2-AB2

=

2AB2

5AB2-AB2

=

1

2

．
即λ=

1

2

．
故選B．

點評：本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理及應用，考查三角恒等變換，三角形的重心的性質，考查運算能力，有一定的難度．