【題目】已知函數
．
（1）若曲線
在
處切線的斜率為
，求此切線方程；
（2）若
有兩個極值點
，求
的取值范圍，并證明：
．
【答案】（1）
；（2）
,證明見解析.
【解析】分析：（1）由函數的解析式可得
，利用
可得
， 則切點為
，切線方程為．
（2）結合(1)中導函數的解析令
，得
．構造函數，令
，則
，利用導函數研究函數的單調性可知
在
遞增，在
遞減，所以
． 結合題意可得
的取值范圍是． 由極值點的性質可得
不妨設
，則
，
，結合的單調性可得
，據此有
，即
．
詳解：（1）∵，∴
，解得，
∴
，故切點為，
所以曲線
在
處的切線方程為．
（2），令
，得．
令
，則
，
且當
時，
；當
時，
；
時，
．
令
，得，
且當
時，
；當
時，
．
故
在
遞增，在
遞減，所以
．
所以當
時，
有一個極值點；
時，有兩個極值點；
當
時，沒有極值點．
綜上，的取值范圍是．
因為
是的兩個極值點，所以
即…①
不妨設，則，，
因為在
遞減，且
，所以
，即
…②．
由①可得
，即
，
由①，②得，所以．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】全世界越來越關注環境保護問題，某監測站點于2018年1月某日起連續
天監測空氣質量指數(
)，數據統計如下：
空氣質量指數( |
|
|
|
|
|
空氣質量等級 | 空氣優 | 空氣良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天數 | 20 | 40 |
| 10 | 5 |
（1）根據所給統計表和頻率分布直方圖中的信息求出，
的值，并完成頻率分布直方圖；
（2）由頻率分布直方圖，求該組數據的眾數和中位數；
（3）在空氣質量指數分別屬于
和
的監測數據中，用分層抽樣的方法抽取
天，再從中任意選取
天，求事件
“兩天空氣都為良”發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（12分）
煉鋼是一個氧化降碳的過程，由于鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系.現已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量x與冶煉時間y（從爐料熔化完畢到出鋼的時間）的一組數據，如下表所示：
（1）據統計表明，
之間具有線性相關關系，請用相關系數r加以說明（
，則認為y與x有較強的線性相關關系，否則認為沒有較強的線性相關關系，r精確到0.001）；
（2）建立y關于x的回歸方程（回歸系數的結果精確到0.01）；
（3）根據（2）中的結論，預測鋼水含碳量為160個0.01%的冶煉時間.
參考公式：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
，相關系數
參考數據：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點
分別是圓心在原點，半徑為
和
的圓上的動點.動點
從初始位置
開始，按逆時針方向以角速度
作圓周運動，同時點
從初始位置
開始，按順時針方向以角速度作圓周運動.記
時刻，點的縱坐標分別為
.
（Ⅰ）求
時刻，兩點間的距離；
（Ⅱ）求
關于時間
的函數關系式，并求當
時，這個函數的值域.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】實數m取什么值時，復平面內表示復數z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的點．
(1)位于第四象限？
(2)位于第一、三象限？
(3)位于直線y＝x上？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為紀念重慶黑山谷晉升國家5A級景區五周年，特發行黑山谷紀念郵票，從2017年11月1日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念郵票在一周內每1張的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下：
上市時間x天 | 1 | 2 | 6 |
市場價y元 | 5 | 2 | 10 |
（Ⅰ）分析上表數據，說明黑山谷紀念郵票的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的變化關系，并判斷y與x滿足下列哪種函數關系，①一次函數；②二次函數；③對數函數，并求出函數的解析式；
（Ⅱ）利用你選取的函數，求黑山谷紀念郵票市場價最低時的上市天數及最低的價格．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如表所示：
組別 |
|
|
|
|
|
|
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規定問卷得分不低于70分的市民稱為“環保關注者”，請完成答題卡中的
列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環保關注者”與性別有關？
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環保達人”．視頻率為概率．
①在我市所有“環保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環保達人”又有女“環保達人”的概率；
②為了鼓勵市民關注環保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：
紅包金額（單位：元） | 10 | 20 |
概率 |
|
|
現某市民要參加此次問卷調查，記
（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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