Question

【題目】已知函數為上的偶函數， 為上的奇函數，且.

（1）求的解析式；

（2）若函數在上只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) 或.

【解析】試題分析：本題根據函數的奇偶性，采用方程組法求函數的解析式，把已知條件里的x替換為-x，利用函數的奇偶性，得出一個新的關系式，兩式聯立，解出函數f(x)和g(x)的解析式，寫出函數h(x)，令h(x)=0，轉化為方程只有一根，利用換元法轉化為二次方程只有一個正根，包括一個正根一個負根及兩個相等正根兩種情況，分別按要求解出a的范圍.

試題解析：

（1）①

.

②

由①②得：

，

由（1）可得：

在上只有一個零點

只有一個實數根

即只有一個實數根

令

則 只有一個正實數根

①當時， 符合題意

②當時，令

若有一正一負實數根，則或，解得；

若有兩個相等的正實數根，則，解得或（舍）

時， 。

綜上所述： 得取值范圍是或.

【點精】關于求函數的解析式問題常用方法有待定系數法、換元法、方程組法等，本題采用的方法為方程組法；當已知函數為哪種基本初等函數時，按照函數的定義形式設出函數，利用待定系數法求出解析式；當提供復合函數形式時，利用換元法求出解析式，但要注意函數的定義域；方程組法題型較少，易于掌握，函數零點問題有時化成函數圖象與x軸的交點問題，有時化為方程的根的的問題，有時化為兩個函數圖象的交點問題，有時還需借助導數研究函數圖象去解決.