Question

【題目】如圖所示，某村積極開展“美麗鄉村生態家園”建設，現擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設美麗鄉村生態公園，給村民休閑健身提供去處．點M，N分別在邊AB，AD上． （Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，求∠MCN的余弦值；

（Ⅱ）由于村建規劃及保護生態環境的需要，要求△AMN的周長為2千米，請探究∠MCN是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設∠DCN=∠BCM=θ，當點M，N分別是邊AB，AD的中點時,在直角三角形中可得sinθ= ，cosθ= ，然后利用cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）求解；

（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，探究α+β是否為定值即可。設AM=x，AN=y，則BM=1﹣x，DN=1﹣y，可得tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，于是得tan（α+β）= ，再由

△AMN的周長為2千米得xy=2（x+y）﹣2，代入后可得tan（α+β）=1.故可得α+β= ，于是可得∠MCN為定值。

試題解析:

（Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，設∠DCN=∠BCM=θ，則∠MCN= ﹣2θ，

由條件得CD=BC=1，DN=BM= ，CN=CM= ，

所以sinθ= ，cosθ= ，

所以cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= ，

即∠MCN的余弦值是 ．

（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，則BM=1﹣x，DN=1﹣y，

在△CBM中，tanα=1﹣x，

在△CDN中，tanβ=1﹣y，

所以tan（α+β）= = = ，（*）

因為△AMN的周長為2千米，

所以x+y+ =2，

化簡得xy=2（x+y）﹣2，

將上式代入（*）式，可得

tan（α+β）= = = =1，

又，

所以α+β= ，

所以∠MCN是定值，且∠MCN= ．