Question

【題目】已知函數f（x）=
（1）求證f（x）在（0，+∞）上遞增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實數a的取值范圍
（3）當f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）= ﹣ ，x∈（0，+∞），

∴f'（x）= ＞0，

故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增

（2）∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，

則 ，即 ，

故函數y= 與y=x+ （x＞0）的圖象有兩個公共點，

∵當x＞0時，y=x+ ≥2（當且僅當x= ，即x=1時取“=”），

∴ ≥2，解得0＜a≤

（3）∵f（x）= ﹣ ，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立上，

∴a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）= ，

則g（x）≤ = （當且僅當2x= ，即x= 時取等號），

要使（0，+∞）上恒成立，

故a的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（1）利用f'（x）= ＞0即可證明f（x）在（0，+∞）上遞增；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，則則 ，構造函數y= 與y=x+ （x＞0），利用兩函數的圖象有兩個公共點，即求實數a的取值范圍；（3）當f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，構造函數g（x）= ，利用基本不等式可求得g（x）max ， 從而可求實數a的取值范圍．
【考點精析】利用函數的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．