Question

已知函數f（x）=（2

3

cosx+sinx）sinx-sin²（

π

2

+x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知f（

C

2

）=2，c=2，且sinB=3sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ即可求得函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）由（1）及已知可得c=

2π

3

，從而有b=3a，由余弦定理可求a²=

4

13

，即可求出△ABC的面積．

解答： 解：f（x）=（2

3

cosx+sinx）sinx-sin²（

π

2

+x）．
=2

3

sinxcosx+sin²x-cos²x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）
（Ⅰ）∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ∴

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ
∴函數f（x）的單調減區間為：[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（1）知：f（

c

2

）=2sin（c-

π

6

）=2
∴sin（c-

π

6

）=1
∴c-

π

6

=

π

2

，c=

2π

3

又∵sinB=3sinA∴b=3a
由余弦定理：
c²=4=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab
=13a²
∴a²=

4

13

∴S_△ABC=

1

2

absin

2π

3

=

3 13

13

．

點評：本題主要考察了余弦定理、正弦定理、三角函數中的恒等變換應用，考察了三角函數的性質，屬于基本知識的考查．