Question

已知橢圓的中心在坐標原點，左焦點為F（-

3

，0），右頂點為D（2，0），設點A（2，2）．
（Ⅰ）求這個橢圓的標準方程；
（Ⅱ）P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）過點（-1，0）的直線L交橢圓于點B，C，求△ABC面積等于4的直線L的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1．又橢圓的焦點在x軸上，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由點A（2，2），設P（2cosθ，sinθ），線段PA中點M（x，y），且

x=1+cosθ y=1+ 1 2 sinθ

，由此能求出線段PA中點M的軌跡方程．
（Ⅲ）設過點（-1，0）的直線L的方程為y=k（x+1），聯立

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，由此利用弦長公式和點到直線的距離公式能求出直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸a=2，
半焦距c=

3

，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵點A（2，2），P是橢圓

x2

4

+y2=1上的動點，
∴設P（2cosθ，sinθ），
∴線段PA中點M（x，y），且

x=1+cosθ y=1+ 1 2 sinθ

，
∴線段PA中點M的軌跡方程為：（x-1）²+4（y-1）²=1．
（Ⅲ）設過點（-1，0）的直線L的方程為y=k（x+1），
聯立

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8k2

4k2+1

，x₁x₂=

4k2-4

4k2+1

，
|BC|=

(1+k2)[( -8k2 4k2+1 )2-4× 4k2-4 4k2+1 ]

，
點A（2，2）到直線y=k（x+1）的距離d=

|k-2|

k2+1

，
∵△ABC面積等于4，
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=

1

2

×

|k-2|

k2+1

×

(1+k2)[( -8k2 4k2+1 )2-4× 4k2-4 4k2+1 ]

=4，
解得k=0，
∴直線L的方程為y=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程、線段PA中點M的軌跡方程和直線L的方程的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式和點到直線的距離公式的合理運用．