Question

已知奇函數f（x）=a-

b

2x+1

的圖象經過點（1，1）
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：本題（Ⅰ）可以先根據函數f（x）是奇函數，通過特殊值法得到關于a、b的方程，從而求出ab的值，再驗證函數f（x）是奇函數；（Ⅱ）直接用定義法判斷并證明函數f（x）的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）∵奇函數f（x）=a-

b

2x+1

的圖象經過點（1，1），
∴f（0）=0，
f（1）=1，
∴a-

b

2

=0，
a-

b

3

=1，
∴a=3，b=6．
∴f（x）=3-

6

2x+1

．
∴f（-x）=3-

6

2-x+1

=3-

6×2x

1+2x

=-3+

6

2x+1

=-f（x）．
函數f（x）是奇函數，適合題意，
∴a=3，b=6．
（Ⅱ）函數f（x）在定義域R上是單調遞增的函數．
證明：在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（3-

6

2x2+1

）-（3-

6

2x1+1

）
=

6(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2 x2-2x1＞0，
2x1+1＞0，
2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數f（x）是R上的增函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性的應用和函數單調性的定義，本題難度不大，但是要注意在解題過程中邏輯的嚴密性，本題屬于中檔題．