Question

關于x的不等式

.

x+a 2 1 x

.

＜0的解集為（-1，b）．
（1）求實數a、b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數，求cos(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）將原不等式轉化為（x+a）x-2＜0，即x²+ax-2＜0，根據解集為（-1，b）得到-1，b是方程x²+ax-2=0的兩個根，結合根與系數的關系即可列出關于a，b的方程組，并利用解二元一次方程組的方法即可求解
（2）根據z₁z₂為純虛數，得知實部為0，虛部不為0，即可得到關于α的條件式

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

并解得：tanα=-

1

2

，再利用兩角差的余弦，倍角公式和同角的三角關系將cos(2α-

π

3

)化為關于tanα的代數式

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

即可求解

解答：解：（1）原不等式等價于（x+a）x-2＜0，
  即x²+ax-2＜0
由題意得，

-1+b=-a -1×b=-2

解得a=-1，b=2．
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）
若z₁z₂為純虛數，則

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

，
解得tanα=-

1

2

cos(2α-

π

3

)=

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

=

3-4 3

10

．

點評：本題考查了二階矩陣，兩角和與差的余弦函數及解三角方程的能力，屬于基礎題．