Question

8．已知橢圓C的左、右焦點分別為（-$\sqrt{3}，0$）、（$\sqrt{3}，0$），且經過點（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）．
（ I）求橢圓C的方程：
（ II）直線y=kx（k∈R，k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，D點為橢圓C上的動點，且|AD|=|BD|，請問△ABD的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線AB的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），則c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3，將點（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程：
（II）D在AB的垂直平分線上，OD：$y=-\frac{1}{k}x$，將直線方程代入橢圓方程求得（1+4k²）x²=4，則|AB|=2|OA|=4$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，|OC|=2$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，可知S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\frac{{4（1+{k^2}）}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，根據基本不等式的性質可知：$\sqrt{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}≤\frac{{5（1+{k^2}）}}{2}$，因此S_△ABC=2S_△OAC≥$\frac{8}{5}$，即可求得直線AB的方程．

解答 解：（I）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3，
將點（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4（{a}^{2}-3）}=1$，
解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（II）D在AB的垂直平分線上，
∴OD：$y=-\frac{1}{k}x$．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²=4，
|AB|=2|OA|=2$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$=4$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，…（6分）
同理可得|OD|=2$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，…（7分）
則S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（4{k}^{2}+1）（k{{\;}^{2}+}^{\;}4）}}$．…（8分）
由于$\sqrt{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}≤\frac{{5（1+{k^2}）}}{2}$，…（10分）
∴S_△ABD=2S_△OAD≥$\frac{8}{5}$，
當且僅當1+4k²=k²+4，即k=±1時取等號．
∴△ABD的面積取最小值$\frac{8}{5}$，直線AB的方程為y=±x．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積公式與基本不等式性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．