Question

如圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（Ⅰ）在線段PB上找一點M，使得ME⊥平面PBD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求三棱錐E-PMC的體積；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）（1）M為線段PB的中點，連接AC與BD交于點F，連接MF，由F為BD的中點，知MF∥PD且MF=

1

2

PD．由EC∥PD，且EC=

1

2

PD，知四邊形MFCE為平行四邊形，由此能證明ME⊥面PDB；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，通過V_E-PMC=V_P-MEC=V_D-MEC求解即可；
（Ⅲ）求出E到平面PAB的距離、ME，即可求出平面PBE與平面PAB的夾角．

解答： 解：（Ⅰ）證明：M為線段PB的中點，連接AC與BD交于點F，連接MF，
∵F為BD的中點，∴MF∥PD且MF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，
∴MF∥EC，且MF=EC，
∴四邊形MFCE為平行四邊形，
∴ME∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD．
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴ME⊥面PDB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ME⊥DF，又由正方形ABCD，
可知CF⊥DF，則DF⊥面MFCE
易得DP∥面MFCE，DF=CF=

2

，MF=

1

2

PD=1VE-PMC=VP-MEC=VD-MEC=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

，
（Ⅲ）解：△PBE中，BE=PE=

5

，PB=2

3

，∴ME=

2

，
∵E到平面PAB的距離等于PD中點到PA的距離，
∴E到平面PAB的距離等于

2

2

，
∴平面PBE與平面PAB的夾角的補角的余弦值為

1

2

，
∴平面PBE與平面PAB的夾角為：

5π

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成的二面角大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．