Question

正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，

現將△沿翻折成直二面角．

   （１）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；

   （２）求二面角的余弦值；

   （３）在線段上是否存在一點，使？證明你的結論.

 

Answer 1

 解：法一：（I）如圖：在△ABC中，

由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF.   

∴AB∥平面DEF.    …………4分

   （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD        ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD

取CD的中點M，這時EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD

過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=  ∴tan∠MNE=，cos∠MNE=  ………9分

（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE……………………10分

證明如下：在線段BC上取點P。使，過P作PQ⊥CD與點Q，

∴PQ⊥平面ACD      ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………14分

法二：（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分

平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量

為則 即

  

所以二面角E—DF—C的余弦值為 …8分

（Ⅲ）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為

設

…………………12分

所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE       …………………………14分

另解：設

又       …………………………12分

把

所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE      …………….14分