Question

19、如圖所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（I）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（II）求直線EF與平面ADC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由于E、F分別是AC和BC的中點，由三角形中位線定理，結合線面平行的判定定理，我們易判斷出EF∥AB，進而得到直線AB∥平面DEF．
（II）根據面面垂直的定義，結合將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，CD是AB邊上的高，根據面面垂直的性質定理，易得BD⊥平面ADC，結合（I）中EF∥AB，易得∴∠BAD為直線EF與平面ADC所成角，解三角形后，即可得到答案．

解答：解：（I）∵E、F分別是AC和BC的中點
∴EF∥AB
又EF?平面DEF，
AB?平面DEF
∴AB∥平面DEF（7分）
（II）∵二面角A-DC-B為直二面角，BD⊥CD
∴BD⊥平面ADC，
∵EF∥AB，
∴∠BAD為直線EF與平面ADC所成角．
∵AD=BD=2
∴∠BAD=45°即直線EF與平面ADC所成角為45°．（14分）

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，直線與平面所成的角，其中熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的相互轉化及線面夾角的定義，是解答本題的關鍵．