Question

（2012•株洲模擬）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出

BP

BC

的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明線(xiàn)面平行，在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，觀(guān)察到平面BEF中三條已知直線(xiàn)中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點(diǎn)進(jìn)行證明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通過(guò)解三角形，求出這個(gè)平面角的余弦值，進(jìn)而給出二面角的余弦值．
（3）線(xiàn)線(xiàn)垂直可由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)推得，直線(xiàn)和平面垂直，這條直線(xiàn)就垂直于平面內(nèi)所有直線(xiàn)，這是尋找線(xiàn)線(xiàn)垂直的重要依據(jù)．垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)．

解答：解：（1）AB∥平面DEF，理由如下
如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連接EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

，EN=

7

2

，所以cos∠MNE=

21

7

．
∴tan∠MNE=

3

2

，

sin∠MNE

cos∠MNE

=

3

2

，

sin2∠MNE

cos 2∠MNE

=

3

4

∴cos∠MNE=

21

7

．
二面角E-DF-C的余弦值：

21

7

．
（3）在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE
證明如下：在線(xiàn)段BC上取點(diǎn)P．使BP=

1

3

BC，
過(guò)P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=

1

3

DC=

2 3

3

，
∴tan∠DAQ=

DQ

AD

═

2 3 3

2

=

3

3

，∴∠DAQ=30°
在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE
∵PQ⊥平面ACD
∴AP⊥DE．AQ∩AP=A
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE．
此時(shí)BP=

1

3

BC，
∴

BP

BC

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面所成的角，其中熟練掌握線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化及線(xiàn)面夾角的定義，是解答本題的關(guān)鍵．