Question

15．已知點$P（2，2\sqrt{2}）$在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，設拋物線C的焦點為F，準線為l，
（1）求F的坐標和準線l的方程；
（2）若過點F的直線l₁與拋物線C交于A，B兩點，且|AB|=8，求直線方程．

Answer 1

分析 （I）先利用點$P（2，2\sqrt{2}）$在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，得出拋物線的方程，進而求得F的坐標和準線l的方程；
（2）設AB的傾斜角為θ，則$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=8，所以k=tanθ=±1，直線l的方程是x±y-1=0．

解答 解：（1）∵點$P（2，2\sqrt{2}）$在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
∴8=4p，∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x，F（1，0），l：x=-1；
（2）∵過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，|AB|=8，
設AB的傾斜角為θ，
則$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=8，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=tanθ=±1，
∴直線AB的方程是x±y-1=0．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質．涉及拋物線上點到焦點的距離，常用拋物線的定義來解決．