Question

數列{a_n}中，a₁=2，對于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，S_n是{a_n}的前n項和，則

lim

n→∞

nan

Sn+1

=

 

．

Answer 1

考點：數列的極限,數列的求和,數列遞推式

專題：導數的概念及應用

分析：對于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，令m=1，則a_n+1=a_n+2，利用等差數列的通項公式及其前n項和公式可得：a_n，S_n．再利用數列極限的運算法則即可得出．

解答： 解：∵對于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，
令m=1，則a_n+1=a_n+2，
∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n．
∴

lim

n→∞

nan

Sn+1

=

lim

n→∞

2n2

n2+n+1

=

lim

n→∞

2

1+ 1+n n2

=2．
故答案為：2．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、數列極限的運算法則，屬于基礎題．