Question

當a＞0時，函數f（x）=a^x+在（-1，+∞）是增函數，用反證法證明方程a^x+=0沒有負數根．

Answer 1

證明：假設f（x）=0 有負根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根據f（0）=1+=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①．
若-1＜x₀＜0，由函數f（x）=a^x+在（-1，+∞）是增函數，可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾．
若x₀＜-1，則 ，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，這也與①矛盾．
故假設不正確．∴方程 a^x+=0 沒有負根．
分析：假設f（x）=0 有負根 x₀，即 f（x₀）=0，根據f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由條件可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，這也與①矛盾．
點評：本題考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．